Matemàtica de l’equació de Laplace

L’equació de Laplace, l’equació diferencial parcial de segon ordre molt útil en la física perquè les seves solucions R (conegudes com a funcions harmòniques) es produeixen en problemes de potencials elèctrics, magnètics i gravitacionals, de temperatures en estat estacionari i d’hidrodinàmica. L’equació va ser descoberta pel matemàtic i astrònom francès Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

principis de la ciència física: divergència i equació de Laplace

Quan les càrregues no són punts aïllats, sinó que formen una distribució contínua amb una densitat de càrrega local ρ sent la relació de la càrrega δ

L’equació de Laplace afirma que la suma de les derivades parcials de segon ordre de R, la funció desconeguda, respecte a les coordenades cartesianes, és igual a zero:

La suma de l’esquerra sovint es representa amb l’expressió ∇ ² R, en la qual el símbol ∇ ² s’anomena Laplacian, o l’operador Laplace.

Molts sistemes físics es descriuen amb més comoditat mitjançant l’ús de sistemes de coordenades esfèriques o cilíndriques. L’equació de Laplace es pot reformular en aquestes coordenades; per exemple, en coordenades cilíndriques, l’equació de Laplace és